Section: Research Program

Algèbre max-plus et asymptotiques/Using max-plus algebra in asymptotic analysis

Le rôle de l'algèbre min-plus ou max-plus dans les problèmes asymptotiques est évident si l'on écrit

lorsque $ϵ\to 0^{+}$. Formellement, l'algèbre min-plus peut être vue comme la limite d'une déformation de l'algèbre classique, en introduisant le semi-anneau ${ℝ}_{ϵ}$, qui est l'ensemble $ℝ\cup \{+\infty \}$, muni de l'addition $(a,b)\mapsto -ϵlog(e^{-a/ϵ}+e^{-b/ϵ})$ et de la multiplication $(a,b)\mapsto a+b$. Pour tout $ϵ>0$, ${ℝ}_{ϵ}$ est isomorphe au semi-corps usuel des réels positifs, $({ℝ}_{+},+,\times )$, mais pour $ϵ=0^{+}$, ${ℝ}_{ϵ}$ n'est autre que le semi-anneau min-plus. Cette idée a été introduite par Maslov  [144] , motivé par l'étude des asymptotiques de type WKB d'équations de Schrödinger. Ce point de vue permet d'utiliser des résultats algébriques pour résoudre des problèmes d'asymptotiques, puisque les équations limites ont souvent un caractère min-plus linéaire.

Cette déformation apparaît classiquement en théorie des grandes déviations à la loi des grands nombres : dans ce contexte, les objets limites sont des mesures idempotentes au sens de Maslov. Voir [1] , [159] , [59] , pour les relations entre l'algèbre max-plus et les grandes déviations, voir aussi  [55] , [54] , [53] pour des applications de ces idées aux perturbations singulières de valeurs propres. La même déformation est à l'origine de nombreux travaux actuels en géométrie tropicale, à la suite de Viro  [172] .

English version

The role of min-plus algebra in asymptotic problems becomes obvious when writing Equations (7 ) when $ϵ\to 0^{+}$. Formally, min-plus algebra may be thought of as the limit of a deformation of classical algebra, by introducing the semi-field ${ℝ}_{ϵ}$, which is the set $ℝ\cup \{+\infty \}$, equipped with the addition $(a,b)\mapsto -ϵlog(e^{-a/ϵ}+e^{-b/ϵ})$ and the multiplication $(a,b)\mapsto a+b$. For all $ϵ>0$, ${ℝ}_{ϵ}$ is isomorphic to the semi-field of usual real positive numbers, $({ℝ}_{+},+,\times )$, but for $ϵ=0^{+}$, ${ℝ}_{ϵ}$ coincides with the min-plus semiring. This idea was introduced by Maslov  [144] , motivated by the study of WKB-type asymptotics of Schrödinger equations. This point of view allows one to use algebraic results in asymptotics problems, since the limit equations have often some kind of min-plus linear structure.

This deformation appears classically in large deviation theory: in this context, the limiting objects are idempotent measures, in the sense of Maslov. See [1] , [159] , [59] for the relation between max-plus algebra and large deviations. See also  [55] , [54] , [53] for the application of such ideas to singular perturbation problems for matrix eigenvalues. The same deformation is at the origin of many current works in tropical geometry, in the line initiated by Viro  [172] .